Подскажите, пожалуйста.
Как в Yii можно поместить страницу (или фрагмент страницы) в кеш браузера?
Все средства которые предоставлет Yii в основном позволяет управлять кешем только на стороне сервера!
Существует ли возможность, данные загнать в кеш клиента?
Если да, прошу поведать секреты… 
Этим самостоятельно занимается браузер.
На стороне сервера нельзя указать браузеру кэшировать или нет. Если в браузере кэш отключен то ничего не поможет.
Сервер все-таки может управлять кэшированием в браузере. Почитай про header-ы для кэширования(Cache-Control,ETag,Last-Modified,Expires)
Скорее, не "управлять", а "советовать".
Кешировать же или нет - это браузер самостоятельно решать будет.